Des articles

9 : Racines et radicaux


9 : Racines et radicaux

Avant d'apprendre à multiplier les radicaux et à multiplier les racines carrées, vous devez vous assurer que vous connaissez les termes de vocabulaire suivants :

Radical contre Radicande

le radical est le symbole de la racine carrée et le radicande est la valeur à l'intérieur du symbole radical. Le radicande peut inclure des nombres, des variables ou les deux.

La propriété de multiplication des racines carrées

La clé pour apprendre à multiplier les radicaux est de comprendre le propriété de multiplication des racines carrées.

La propriété stipule que chaque fois que vous multipliez des radicaux ensemble, vous prenez le produit des radicandes et les placez sous un seul radical.

Par exemple, le radical 5 fois le radical 3 est égal au radical 15 (car 5 fois 3 égale 15).


Des questions

Simplifiez les radicaux suivants.

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-9-2/”>Answer Key 9.2


Modélisation, fonctions et graphiques

Dans la section 3.2, nous avons vu que la variation inverse peut être exprimée comme une fonction puissance en utilisant des exposants négatifs. Nous pouvons également utiliser des exposants pour désigner les racines carrées et autres radicaux.

Sous-section (n)ième Racines

Rappelons que (s) est une racine carrée de (b) si (s^2 = b ext<,>) et (s) est une racine cubique de (b) si (s^3 = b ext<.>) De la même manière, nous pouvons définir la quatrième, cinquième ou sixième racine d'un nombre. Par exemple, la quatrième racine de (b) est un nombre (s) dont la quatrième puissance est (b ext<.>) En général, on fait la définition suivante.

(n)ième racines.

(s) est appelé un if (s^n = b ext<.>)

On utilise le symbole (sqrt[n]) pour désigner la (n)ième racine de (b ext<.>) Une expression de la forme (sqrt[n]) s'appelle un , (b) s'appelle , et (n) s'appelle .

Exemple 3.50 .
  1. (sqrt[4] <81>= 3) car (3^4 = 81)
  2. (sqrt[5] <32>= 2) car (2^5 = 32)
  3. (sqrt[6] <64>= 2) car (2^6 = 64)
  4. (sqrt[4] <1>= 1) car (1^4 = 1)
  5. (sqrt[5] <100 000>= 10) car (10^5 = 100 000)
Point de contrôle 3.51 . Pratique 1.

Sous-section Notation exponentielle pour les radicaux

Une notation pratique pour les radicaux utilise des exposants fractionnaires. Considérons l'expression (9^<1/2> ext<.>) Quelle signification peut-on attacher à un exposant qui est une fraction ? La troisième loi des exposants dit que lorsque nous élevons une puissance à une puissance, nous multiplions les exposants ensemble :

Par conséquent, si nous élevons le nombre (9^<1/2> ext<,>) nous obtenons

Ainsi, (9^<1/2>) est un nombre dont le carré est (9 ext<.>) Mais cela signifie que (9^<1/2>) est une racine carrée de (9 exte<,>) ou

En général, tout nombre non négatif élevé à la puissance (1/2) est égal à la racine carrée positive du nombre, ou

Exemple 3.52 .
  1. (displaystyle 25^ <1/2>= 5)
  2. (displaystyle -25^ <1/2>= -5)
  3. ((-25)^<1/2>) n'est pas un nombre réel.
  4. (style d'affichage 0^ <1/2>= 0)
Point de contrôle 3.53. Pratique 2.

Le même raisonnement fonctionne pour les racines avec n'importe quel index. Par exemple, (8^<1/3>) est la racine cubique de (8 ext<,>) car

En général, nous faisons la définition suivante pour les exposants fractionnaires.

Notation exponentielle pour les radicaux.

Pour tout entier (n ge 2) et pour (a ge 0 ext<,>)

Exemple 3.54 .
Attention 3.55 .

Un exposant de (dfrac<1><2>) désigne la racine carrée de sa base, et un exposant de (dfrac<1><3>) désigne la racine cubique de sa base.

Point de contrôle 3.56 . Pratique 3.

Bien sûr, nous pouvons également utiliser des fractions décimales pour les exposants. Par example,

Point de contrôle 3.57 . Vérification rapide 1.
Exemple 3.58 .
Point de contrôle 3.59 . Pratique 4.
Point de contrôle 3.60 . Faites une pause et réfléchissez.

Expliquez pourquoi (x^<4>>) est une notation raisonnable pour (sqrt[4] exte<.>)

Sous-section Nombres irrationnels

Qu'en est-il des racines (n)th telles que (sqrt<23>) et (5^<1/3>) qui ne peuvent pas être évaluées facilement ? Ce sont des exemples de. Nous pouvons utiliser une calculatrice pour obtenir des approximations décimales pour les nombres irrationnels. Par exemple, vous pouvez vérifier que

Il n'est pas possible d'écrire un équivalent décimal exact pour un nombre irrationnel, mais nous pouvons trouver une approximation à autant de décimales que nous le souhaitons.

Attention 3.61 .

La séquence de saisie suivante pour évaluer le nombre irrationnel (7^<1/5>) est incorrecte :

Vous pouvez vérifier que cette séquence calcule (dfrac<7^1><5> ext<,>) au lieu de (7^<1/5> ext<.>) Rappelons cela selon l'ordre des opérations, les puissances sont calculées avant multiplications ou divisions. Il faut mettre l'exposant (1/5) entre parenthèses et entrer

Ou, parce que (frac<1><5>= 0.2 ext<,>) nous pouvons entrer

Sous-section Utilisation des exposants fractionnaires

Les exposants fractionnaires simplifient de nombreux calculs impliquant des radicaux. Vous devriez apprendre à passer facilement de la notation exponentielle à la notation radicale. Rappelez-vous qu'un exposant négatif dénote une réciproque.

Exemple 3.62 .

Convertissez chaque radical en notation exponentielle.

Point de contrôle 3.63 . Pratique 5.
Exemple 3.64 .

Convertissez chaque puissance en notation radicale.

  1. (displaystyle 5^ <1/2>= sqrt<5>)
  2. (displaystyle x^ <0.2>= sqrt[5])
  3. (displaystyle 2x^ <1/3>= 2 sqrt[3])
  4. (displaystyle 8a^ <-1/4>= dfrac<8>)
Remarque 3.65 .

Dans l'exemple 3.64d, notez que l'exposant (-1/4) s'applique uniquement à (a ext<,>) pas à (8a ext<.>)

Point de contrôle 3.66 . Pratique 6.
Point de contrôle 3.67 . Vérification rapide 2.

Sous-section Utilisation d'exposants fractionnaires pour résoudre des équations

Au chapitre 2, nous avons appris que l'élévation en puissance et l'enracinement sont des opérations inverses, c'est-à-dire que chaque opération annule les effets de l'autre. Cette relation est particulièrement facile à voir lorsque la racine est désignée par un exposant fractionnaire. Par exemple, pour résoudre l'équation

nous prendrions la quatrième racine de chaque côté. Mais au lieu d'utiliser la notation radicale, nous pouvons élever les deux côtés de l'équation à la puissance (dfrac<1><4> ext<:>)

La troisième loi des exposants nous dit que (left(x^a ight)^b = x^ ext<,>) donc

En général, pour résoudre une équation impliquant une fonction puissance (x^n ext<,>) nous isolons d'abord la puissance, puis élevons les deux côtés à l'exposant (dfrac<1> exte<.>)

Exemple 3.68 .

Pour les astronomes, la masse d'une étoile est sa propriété la plus importante, mais c'est aussi la plus difficile à mesurer directement. Pour de nombreuses étoiles, leur luminosité, ou éclat, varie à peu près comme la quatrième puissance de la masse.

  1. Notre Soleil a une luminosité (4 imes 10^<26>) watts et une masse (2 imes 10^<30>) kilogrammes. Parce que les nombres impliqués sont si grands, les astronomes utilisent souvent ces constantes solaires comme unités de mesure : La luminosité du Soleil est (1) luminosité solaire, et sa masse est (1) masse solaire. Écrivez une fonction puissance pour la luminosité, (L ext<,>) d'une étoile en fonction de sa masse, (M ext<,>) en utilisant les unités de masse solaire et de luminosité solaire.
  2. L'étoile Sirius est (23) fois plus brillante que le Soleil, donc sa luminosité est de (23) luminosités solaires. Estimez la masse de Sirius en unités de masse solaire.
Point de contrôle 3.69 . Pratique 7.

Sous-section Fonctions de puissance

Les fonctions de base (y = sqrt) et (y = sqrt[3]) sont des fonctions puissances de la forme (f (x) = x^<1/n> ext<,>) et les graphiques de toutes ces fonctions ont des formes similaires à ces deux, selon que l'indice de la racine est paire ou impaire.

La figure (a) montre les graphiques de

La figure (b) montre les graphiques de

On ne peut pas prendre une racine paire d'un nombre négatif. (Voir Une note sur les racines des nombres négatifs "Une note sur les racines des nombres négatifs" à la fin de cette section.) Par conséquent, si (n) est pair, le domaine de (f (x) = x^< 1/n>) est restreint aux nombres réels non négatifs, mais si (n) est impair, le domaine de (f (x) = x^<1/n>) est l'ensemble de tous les nombres réels.

Nous rencontrerons également des fonctions de puissance avec des exposants négatifs. Par exemple, le rythme cardiaque d'un animal est lié à sa taille ou à sa masse, les petits animaux ayant généralement un rythme cardiaque plus rapide. Les fréquences cardiaques des mammifères sont données approximativement par la fonction puissance

où (m) est la masse de l'animal et (k) est une constante.

Exemple 3.70 .

Un homme humain typique pèse environ (70) kilogrammes et a une fréquence cardiaque au repos de (70) battements par minute.

Remplissez le tableau avec les fréquences cardiaques des mammifères dont les masses sont données.

Animal Musaraigne Lapin Chat Loup Cheval Ours polaire l'éléphant Baleine
Masse (kg) (0.004) (2) (4) (80) (300) (600) (5400) (70,000)
Rythme cardiaque () () () () () () () ()

Nous substituons (H = 70) et (m = 70) dans l'équation puis résolvons (k ext<.>)

On évalue la fonction (H) pour chacune des masses données dans le tableau.

Animal Musaraigne Lapin Chat Loup Cheval Ours polaire l'éléphant Baleine
Masse (kg) (0.004) (2) (4) (80) (300) (600) (5400) (70,000)
Rythme cardiaque (805) (170) (143) (68) (49) (41) (24) (12)

Nous traçons les points dans le tableau pour obtenir le graphique ci-dessous.

De nombreuses propriétés relatives à la croissance des plantes et des animaux peuvent être décrites par des fonctions de puissance de leur masse. L'étude de la relation entre les taux de croissance de différentes parties d'un organisme ou d'organismes de type similaire est appelée . Une équation de la forme

utilisé pour décrire une telle relation est appelé un .

Bien sûr, les fonctions de puissance peuvent être exprimées en utilisant l'une des notations que nous avons discutées. Par exemple, la fonction de l'exemple 3.70 peut être écrite sous la forme

Point de contrôle 3.71 . Pratique 8.
Point de contrôle 3.72 . Faites une pause et réfléchissez.

Décrivez les différences dans les graphiques de (f(x)=x^>) pour (n) positif et négatif, pour (x gt 0 ext<.>)

Sous-section Résolution d'équations radicales

A est celui dans lequel la variable apparaît sous une racine carrée ou un autre radical. Le radical peut être désigné par un exposant fractionnaire. Par exemple, l'équation

est une équation radicale car (x^ <1/3>= sqrt[3] ext<.>) Pour résoudre l'équation, on isole d'abord la puissance pour obtenir

Ensuite, nous élevons les deux côtés de l'équation à l'inverse de (dfrac<1><3> ext<,>) ou (3 ext<.>)

Exemple 3.73 .

Lorsqu'une voiture freine brutalement, sa vitesse peut être estimée à partir de la longueur des traces de dérapage qu'elle laisse sur la chaussée. Une formule pour la vitesse de la voiture, en miles par heure, est (v = f (d) = (24d)^<1/2> ext<,>) où la longueur du patin marque, (d text<,>) est donné en pieds.

  1. Si une voiture laisse des traces de dérapage de (80) pieds de long, à quelle vitesse la voiture roulait-elle lorsque le conducteur a appliqué les freins ?
  2. Sur quelle distance une voiture dérapera-t-elle si son conducteur applique les freins en roulant (80) milles à l'heure ?

Pour trouver la vitesse de la voiture, nous évaluons la fonction pour (d = alert<80> ext<.>)

La voiture roulait à environ (44) milles à l'heure.

On aimerait trouver la valeur de (d) lorsque la valeur de (v) est connue. Nous substituons (v = alert<80>) dans la formule et résolvons l'équation

Parce que (d) apparaît à la puissance (frac<1><2> ext<,>) nous aurons d'abord au carré les deux côtés de l'équation pour obtenir

Vous pouvez vérifier que cette valeur pour (d) fonctionne dans l'équation d'origine. Ainsi, la voiture dérapera d'environ (267) pieds. Un graphique de la fonction (v = (24d)^<1/2>) est présenté ci-dessous, ainsi que les points correspondant aux valeurs des parties (a) et (b).

Point de contrôle 3.74 . Vérification rapide 4.
Remarque 3.75 .

Ainsi, nous pouvons résoudre une équation où un côté est une racine (n)ième de (x) en élevant les deux côtés de l'équation à la puissance (n)ième. Nous devons être prudents lorsque nous élevons les deux côtés d'une équation à une puissance paire, car des solutions étrangères peuvent être introduites. Cependant, comme la plupart des applications des fonctions puissance ne traitent que des domaines positifs, elles n'impliquent généralement pas de solutions étrangères.

Point de contrôle 3.76 . Pratique 9.

Dans l'exemple 3.70, nous avons trouvé la fonction de fréquence cardiaque, (H(m) = 202,5m^<-1/4> ext<.>)

Sous-section A Remarque sur les racines des nombres négatifs

Vous savez déjà que (sqrt<-9>) n'est pas un nombre réel, car il n'y a pas de nombre réel dont le carré est (-9 ext<.>) De même, (sqrt[4]< -16>) n'est pas un nombre réel, car il n'y a pas de nombre réel (r) pour lequel (r^4 = -16 ext<.>) (ces deux radicaux sont . Les nombres complexes sont discutés au chapitre 7.) En général, nous ne pouvons pas trouver une racine paire (racine carrée, racine quatrième, etc.) d'un nombre négatif.

D'autre part, chaque nombre positif a deux racines paires qui sont des nombres réels. Par exemple, (3) et (-3) sont des racines carrées de (9 ext<.>) Le symbole (sqrt<9>) se réfère uniquement au positif, ou , de (9 ext<.>) Si nous voulons nous référer à la racine carrée négative de (9 ext<,>) nous devons écrire (-sqrt <9>= -3 ext<.> ) De même, (2) et (-2) sont des racines quatrièmes de (16 ext<,>) car (2^4 = 16) et ((-2)^4 = 16 ext<.>) Cependant, le symbole (sqrt[4]<16>) se réfère uniquement à la quatrième racine principale, ou positive. Ainsi,

Les choses sont plus simples pour les racines impaires (racines cubiques, racines cinquièmes, etc.). Chaque nombre réel, qu'il soit positif, négatif ou nul, a exactement une racine impaire de valeur réelle. Par example,

Voici un résumé de notre discussion.

Racines des nombres réels.
  1. Chaque nombre positif a deux racines réelles, une positive et une négative, si l'indice est pair.
  2. Un nombre négatif n'a pas de racine réelle si l'index est pair.
  3. Chaque nombre réel, positif, négatif ou zéro, a exactement une racine à valeur réelle si l'index est impair.
Exemple 3.77 .
  1. (sqrt[4]<-625>) n'est pas un nombre réel.
  2. (displaystyle - sqrt[4] <625>= -5)
  3. (displaystyle sqrt[5] <-1>= -1)
  4. (sqrt[4]<-1>) n'est pas un nombre réel.

Les mêmes principes s'appliquent aux puissances avec des exposants fractionnaires. Ainsi

mais ((-64)^<1/6>) n'est pas un nombre réel. D'autre part,

car l'exposant (1/6) s'applique uniquement à (64 ext<,>) et le signe négatif est appliqué après le calcul de la racine.

Point de contrôle 3.78 . Vérification rapide 5.
Point de contrôle 3.79 . Pratique 10.
Point de contrôle 3.80 . Faites une pause et réfléchissez.

Quel est le domaine de la fonction (f(x)=x^<2n>> ext<,>) et pourquoi ?

Point de contrôle 3.81 . Pratique 11.

Sous-section Section Résumé

Sous-sous-section Vocabulaire

Recherchez les définitions des nouveaux termes dans le glossaire.

Sous-sous-section CONCEPTS

(n)ième racine : (s) est appelé un if (s^n = b ext<.>)

Notation exponentielle : Pour tout entier (nge 2) et pour (age 0 ext<,>) (a^<1/n>=sqrt[n] ext<.> )

Nous ne pouvons pas écrire un équivalent décimal exact pour un , mais nous pouvons approximer un nombre irrationnel avec autant de décimales que nous le souhaitons.

On peut résoudre l'équation (x^n = b) en élevant les deux côtés au (dfrac<1> ) Puissance.

An est une fonction puissance de la forme ( ext = k ( exte)^p exte<.>)

On peut résoudre l'équation (x^ <1/n>= b) en élevant les deux membres à la (n)ième puissance.

Racines des nombres réels.

Chaque nombre positif a deux racines réelles, une positive et une négative, si l'indice est pair.

Un nombre négatif n'a pas de racine réelle si l'index est pair.

Chaque nombre réel, positif, négatif ou zéro, a exactement une racine à valeur réelle si l'index est impair.

Sous-sous-section QUESTIONS D'ÉTUDE

Utilisez un exemple pour illustrer les termes radical, radicande, indice et racine principale.

Expliquez pourquoi (x^<1/4>) est une notation raisonnable pour (sqrt[4] exte<.>)

Que signifie la notation (x^<0.2>) ?

Exprimez chacune des notations algébriques suivantes en mots puis évaluez chacune pour (= 16 ext<:>)

Comment est la troisième loi des exposants, ((xa)^b = x^ ext<,>) utile pour résoudre des équations ?

Sous-sous-section COMPÉTENCES

Pratiquez chaque compétence dans les problèmes de devoirs énumérés.

Évaluez les pouvoirs et les racines : 1–8, 17–20

Convertir entre la notation radicale et exponentielle : #9-16, 21 et 22

Résoudre des équations radicales : #23-38, 59 et 60

Représentez graphiquement et analysez les fonctions de puissance : 39-58

Travaillez avec des exposants fractionnaires : #61–68

Exercices Devoir 3.3

Pour les problèmes 1 à 4, trouvez la racine indiquée sans utiliser de calculatrice puis vérifiez vos réponses.


Propriétés des racines

Tout nombre réel positif a un nombre positif me racine et les règles pour les opérations avec de telles racines obéissent aux règles suivantes :

Nous pouvons convertir n'importe quelle expression avec des radicaux en une forme d'exposant :

L'utilisation de la forme d'exposant facilite l'annulation des pouvoirs et des racines. Nous aborderons les règles des exposants plus en profondeur dans le prochain chapitre.

Puisque les racines sont des cas particuliers d'exposants, les règles radicales sont essentiellement des règles d'exposant écrites avec une notation différente, le symbole radical.


Racines des radicaux : s'organiser pour le pouvoir, l'action et la justice

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Comment cela s'applique-t-il à votre travail?

Comme prévu, ce livre m'a appris quelque chose sur les limites. Chambers fait une distinction particulière entre la vie publique et la vie privée et soutient que « ce dont les gens ont besoin dans la vie publique, c'est d'être respectés, ce qui est similaire à, mais différent, d'être aimé ». Il prétend qu'être aimé devrait être dans le domaine privé mais, dans la vie publique, gagner le respect augmente votre pouvoir de négociation. En travaillant dans la profession de service, je pense que nous pouvons avoir l'impression que notre travail consiste à être gentil. L'argument de Chambers suggère cependant que nous gagnerons davantage à nous affirmer, même si cela ne suscite pas toujours la sympathie.

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1) Règle de fer : Ne jamais, ne jamais faire pour les autres ce qu'ils peuvent faire pour eux-mêmes.
2) Le pouvoir sans amour est une tyrannie L'amour sans pouvoir est une bouillie sentimentale
3) Les démunis ne devraient pas être romancés, ils trichent, mentent, volent, doublent et jouent la victime comme le font les nantis
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Chloé Weber L.Ac, MSOM

Chloé a développé un intérêt pour la santé publique et la médecine après avoir reçu un diagnostic de leishmaniose cutanée au lycée. En tant que l'un des premiers cas diagnostiqués au Costa Rica, Chloé a été amenée à étudier l'écologie et la biologie évolutive à CU Boulder, où elle a commencé à comprendre comment les maladies évoluent avec nous et le lien profond entre les humains et notre environnement. Finalement, Chloé a été attirée par la médecine chinoise comme moyen de résoudre les problèmes de santé publique. Elle a obtenu une maîtrise en médecine orientale du Southwest Acupuncture College de Boulder et a étudié à l'hôpital universitaire du Heilongjiang à Harbin, en Chine.

Après avoir obtenu son diplôme, Chloé a cofondé une clinique d'herbes chinoises sans but lucratif à échelle mobile appelée Urban Herbs. Diriger sa clinique Chloé a pu se plonger dans son étude des herbes et a trouvé une grande joie dans la sensibilisation de la communauté. Lorsque le fils de Chloé, Remy, a commencé le voyage vers le diagnostic, elle a décidé de déménager à New York pour se concentrer sur son soutien. Chloé a actuellement un cabinet privé à New York et reçoit des patients à Manhattan et à Bellmore. Travailler avec Remy a conduit Chloé à étudier de manière approfondie la neurologie intégrative et la médecine fonctionnelle et l'a motivée à trouver des moyens d'aider les enfants souffrant de problèmes neuro-développementaux et de convulsions. Alors que Remy et Chloé se sentaient tous les deux mieux avec les nombreuses huiles d'extrait de chanvre qu'ils ont essayées, rien n'a arrêté les crises de Remy. Chloé a estimé qu'elle pouvait créer une formule plus puissante pour aider les personnes souffrant de crises d'épilepsie, c'est ainsi que Radical Roots est né !

Carie Martin, D.Ac, M.S.Ac

Vice-président des ventes

Carie Martin a passé la majeure partie de 2 décennies en tant que leader de la santé et du bien-être holistiques - d'abord en tant qu'instructeur de yoga et de fitness et coach en santé, et maintenant, docteur en acupuncture et vice-président des ventes pour Radical Roots Herbs. Conférencière régulière fournissant du soutien et des informations aux patients, aux soignants et aux membres de la famille touchés par le cancer, Carie donne également régulièrement des conférences aux organisations sur le bien-être au travail et la constitution d'équipes saines.

Au cours des 9 dernières années de pratique clinique, Carie a traité et appris d'un groupe diversifié de patients, de praticiens et de fournisseurs, qui ont renforcé le désir d'intégrer de manière plus significative ce que la nature et la science ont à offrir dans la vie quotidienne. En plus des soins directs aux patients, des conférences et du travail de consultation, Carie a dirigé des ateliers de yoga et de méditation et a enseigné lors de retraites de bien-être aux États-Unis et à l'étranger.

Après avoir vu les avantages du chanvre dans le traitement des patients atteints de maladies chroniques et auto-immunes, Carie a rejoint Radical Roots Herbs en 2019 pour aider à diffuser largement le message de son potentiel. Alignée sur l'engagement de l'entreprise à mettre la médecine naturelle et à base de plantes au premier plan de manière durable, Carie est également fière de soutenir la fondatrice de l'entreprise, Chloe Weber, dans sa mission de mettre la puissance de ces produits entre les mains des gens.


C'est comme arracher le pansement rapidement. Cela les choque pendant une seconde mais la douleur des nombres négatifs s'en va rapidement.

Presque 100 % du temps, un élève demandera : « Pourquoi la racine carrée de 16 + 4 n'est-elle pas ?

C'est là que le moment magique ah ha se produit…

Maintenant, vous avez toute leur attention et pouvez leur expliquer ce nouveau concept fou d'un problème de mathématiques ayant deux réponses.

Donnez-leur des exemples et des contre-exemples, testez leur cerveau. Une fois que vous leur avez fait comprendre les mathématiques derrière le concept, demandez-leur de dresser une liste de choses pour lesquelles la réponse négative ne serait pas nécessaire. Par exemple, si vous parliez de distance, nous ne disons jamais que nous marchons moins de 5 milles. Seule la réponse positive serait nécessaire. Ensuite, vous pouvez leur donner des exemples de fois où la réponse négative n'est tout simplement pas nécessaire.


9 : Racines et radicaux

Dans cette section, nous allons examiner une technique d'intégration qui peut être utile pour quelque intégrales avec des racines en eux. Nous avons déjà vu des intégrales avec des racines en elles. Certaines peuvent être effectuées rapidement avec une simple substitution de calcul I et d'autres peuvent être effectuées avec des substitutions trigonométriques.

Cependant, toutes les intégrales avec racines ne nous permettront pas d'utiliser l'une de ces méthodes. Regardons quelques exemples pour voir une autre technique qui peut être utilisée à l'occasion pour aider avec ces intégrales.

Parfois, face à une intégrale qui contient une racine, nous pouvons utiliser la substitution suivante pour simplifier l'intégrale dans une forme qui peut être facilement travaillée.

Ainsi, au lieu de laisser (u) être la substance sous le radical comme nous l'avons souvent fait en Calcul I, nous laissons (u) être le radical entier. Maintenant, il y aura un peu plus de travail ici car nous aurons également besoin de savoir ce qu'est (x) afin que nous puissions substituer cela dans le numérateur et ainsi nous pouvons calculer le différentiel, (dx). C'est assez facile à obtenir cependant. Résolvez simplement la substitution pour (x) comme suit,

En utilisant cette substitution, l'intégrale est maintenant,

Ainsi, parfois, lorsqu'une intégrale contient la racine (sqrt[n]<>) le remplacement,

peut être utilisé pour simplifier l'intégrale dans une forme que nous pouvons traiter.

Jetons un coup d'œil à un autre exemple très rapidement.

Nous allons faire la même chose que dans l'exemple précédent. Voici la substitution et le travail supplémentaire que nous devrons faire pour obtenir (x) en termes de (u).

Avec cette substitution, l'intégrale est,

Cette intégrale peut maintenant être faite avec des fractions partielles.

Mettre les numérateurs égaux donne,

[4u = Agauche( droit) + Bgauche( droite)]

La valeur de sélection de (u) donne les coefficients.

[commenceru = & - 2 & hspace <0.5in>- 8 = & , Bleft( < - 7> ight) & hspace<0.5in>B = & , frac<8><7> u = & ,5 & hspace <0.5in>20 = & , Aleft( 7 ight) & hspace<0.5in>A = & , frac<<20>><7> finir]

Nous avons donc vu une méthode intéressante pour éliminer les racines de l'intégrale et la mettre sous une forme que nous pouvons gérer. Notez cependant que cela ne fonctionnera pas toujours et que parfois la nouvelle intégrale sera tout aussi difficile à faire.


9 : Racines et radicaux

Ici, nous allons définir, analyser, simplifier et calculer la racine carrée de 9. Nous commençons par la définition, puis répondons à quelques questions courantes sur la racine carrée de 9. Ensuite, nous vous montrerons différentes manières de calculer la racine carrée de 9 avec et sans ordinateur ou calculatrice. Nous avons beaucoup d'informations à partager, alors commençons!


Racine carrée de la définition 9
La racine carrée de 9 sous forme mathématique s'écrit avec le signe radical comme ceci √9. Nous appelons cela la racine carrée de 9 sous forme radicale. La racine carrée de 9 est une quantité (q) qui, multipliée par elle-même, sera égale à 9.


9 est-il un carré parfait ?
9 est un carré parfait si la racine carrée de 9 est égale à un nombre entier. Comme nous l'avons calculé plus bas sur cette page, la racine carrée de 9 est un nombre entier.


La racine carrée de 9 est-elle rationnelle ou irrationnelle ?
La racine carrée de 9 est un nombre rationnel si 9 est un carré parfait. C'est un nombre irrationnel si ce n'est pas un carré parfait. Puisque 9 est un carré parfait, c'est un nombre rationnel. Cela signifie que la réponse à « la racine carrée de 9 ? » n'aura pas de décimales.


La racine carrée de 9 peut-elle être simplifiée ?
Une racine carrée d'un carré parfait peut être simplifiée car la racine carrée d'un carré parfait sera égale à un nombre entier :


Comment calculer la racine carrée de 9 avec une calculatrice
La façon la plus simple et la plus ennuyeuse de calculer la racine carrée de 9 est d'utiliser votre calculatrice ! Tapez simplement 9 suivi de √x pour obtenir la réponse. Nous l'avons fait avec notre calculatrice et avons obtenu la réponse suivante :



Comment calculer la racine carrée de 9 avec un ordinateur
Si vous utilisez un ordinateur doté d'Excel ou de Numbers, vous pouvez entrer SQRT(9) dans une cellule pour obtenir la racine carrée de 9. Voici le résultat obtenu :


Quelle est la racine carrée de 9 écrite avec un exposant ?
Toutes les racines carrées peuvent être converties en un nombre (base) avec un exposant fractionnaire. La racine carrée de 9 ne fait pas exception. Voici la règle et la réponse à « la racine carrée de 9 convertie en base avec un exposant ? » :


Comment trouver la racine carrée de 9 par la méthode de la division longue
Ici, nous allons vous montrer comment calculer la racine carrée de 9 en utilisant la méthode de la division longue. C'est l'art perdu de la façon dont ils calculaient la racine carrée de 9 à la main avant l'invention de la technologie moderne.

Étape 1)
Configurez 9 par paires de deux chiffres de droite à gauche :

9

Étape 2)
En commençant par le premier ensemble : le plus grand carré parfait inférieur ou égal à 9 est 9 et la racine carrée de 9 est 3. Par conséquent, mettez 3 en haut et 9 en bas comme ceci :

3
9
9

La différence entre les deux chiffres du bas est de zéro, donc vous avez terminé ! La réponse est le numéro vert en haut. Encore une fois, la racine carrée de 9 est 3.


Racine carrée d'un nombre
Veuillez entrer un autre nombre dans la case ci-dessous pour obtenir la racine carrée du nombre et d'autres informations détaillées comme celles que vous avez obtenues pour 9 sur cette page.



Remarques
N'oubliez pas que négatif fois négatif est égal à positif. Ainsi, la racine carrée de 9 n'a pas seulement la réponse positive que nous avons expliquée ci-dessus, mais aussi la contrepartie négative.

Nous nous référons souvent aux racines carrées parfaites sur cette page. Vous pouvez utiliser la liste des carrés parfaits pour référence.


Racine carrée de 10
Voici le prochain numéro de notre liste sur lequel nous avons des informations sur la racine carrée tout aussi détaillées.


Contenu

La naissance et le développement de la théorie de Galois ont été causés par la question suivante, qui était l'une des principales questions mathématiques ouvertes jusqu'au début du 19ème siècle :

Existe-t-il une formule pour les racines d'une équation polynomiale du cinquième degré (ou plus) en termes de coefficients du polynôme, en utilisant uniquement les opérations algébriques habituelles (addition, soustraction, multiplication, division) et l'application de radicaux (racines carrées, racines cubiques, etc.) ?

Le théorème d'Abel-Ruffini fournit un contre-exemple prouvant qu'il existe des équations polynomiales pour lesquelles une telle formule ne peut pas exister. La théorie de Galois apporte une réponse beaucoup plus complète à cette question, en expliquant pourquoi elle est possible de résoudre certaines équations, y compris toutes celles de degré quatre ou moins, de la manière ci-dessus, et pourquoi il n'est pas possible pour la plupart des équations de degré cinq ou plus. En outre, il fournit un moyen de déterminer si une équation particulière peut être résolue qui est à la fois conceptuellement claire et facilement exprimée sous forme d'algorithme.

La théorie de Galois donne également un aperçu clair des questions concernant les problèmes de construction de compas et de règles. Il donne une caractérisation élégante des rapports de longueurs qui peuvent être construits avec cette méthode. En utilisant cela, il devient relativement facile de répondre à des problèmes de géométrie classiques tels que

  1. Quels polygones réguliers sont constructibles ? [1]
  2. Pourquoi n'est-il pas possible de trisecter chaque angle à l'aide d'un compas et d'une règle ? [1]
  3. Pourquoi doubler le cube n'est-il pas possible avec la même méthode ?

Préhistoire Modifier

La théorie de Galois trouve son origine dans l'étude des fonctions symétriques - les coefficients d'un polynôme monique sont (au signe près) les polynômes symétriques élémentaires dans les racines. Par exemple, (Xune)(Xb) = X 2 – (une + b)X + un B , où 1, une + b et un B sont les polynômes élémentaires de degré 0, 1 et 2 en deux variables.

Cela a été formalisé pour la première fois par le mathématicien français du XVIe siècle François Viète, dans les formules de Viète, pour le cas des racines réelles positives. De l'avis du mathématicien britannique du XVIIIe siècle Charles Hutton, [2] l'expression des coefficients d'un polynôme en termes de racines (pas seulement pour les racines positives) a été comprise pour la première fois par le mathématicien français du XVIIe siècle Albert Girard Hutton écrit :

. [Girard fut] la première personne qui comprit la doctrine générale de la formation des coefficients des puissances à partir de la somme des racines et de leurs produits. Il fut le premier à découvrir les règles pour additionner les puissances des racines de n'importe quelle équation.

Dans cette veine, le discriminant est une fonction symétrique dans les racines qui reflète les propriétés des racines - il est nul si et seulement si le polynôme a une racine multiple, et pour les polynômes quadratiques et cubiques, il est positif si et seulement si toutes les racines sont réel et distinct, et négatif si et seulement s'il existe une paire de racines conjuguées complexes distinctes. Voir Discriminant : Nature des racines pour plus de détails.

Le cubique a d'abord été partiellement résolu par le mathématicien italien du 15-16ème siècle Scipione del Ferro, qui n'a cependant pas publié ses résultats, cette méthode, cependant, n'a résolu qu'un seul type d'équation cubique. Cette solution fut ensuite redécouverte indépendamment en 1535 par Niccolò Fontana Tartaglia, qui la partagea avec Gerolamo Cardano, lui demandant de ne pas la publier. Cardano a ensuite étendu cela à de nombreux autres cas, en utilisant des arguments similaires, voir plus de détails sur la méthode de Cardano. Après la découverte du travail de del Ferro, il sentit que la méthode de Tartaglia n'était plus secrète, et c'est ainsi qu'il publia sa solution dans son 1545 Ars Magna. [3] Son étudiant Lodovico Ferrari a résolu le polynôme quartique sa solution a également été incluse dans Ars Magna. Dans ce livre, cependant, Cardano n'a pas fourni de « formule générale » pour la solution d'une équation cubique, car il n'avait ni nombres complexes à sa disposition, ni la notation algébrique pour pouvoir décrire une équation cubique générale. Grâce à la notation moderne et aux nombres complexes, les formules de ce livre fonctionnent dans le cas général, mais Cardano ne le savait pas. C'est Rafael Bombelli qui a réussi à comprendre comment travailler avec des nombres complexes afin de résoudre toutes les formes d'équation cubique.

A further step was the 1770 paper Réflexions sur la résolution algébrique des équations by the French-Italian mathematician Joseph Louis Lagrange, in his method of Lagrange resolvents, where he analyzed Cardano's and Ferrari's solution of cubics and quartics by considering them in terms of permutation of the roots, which yielded an auxiliary polynomial of lower degree, providing a unified understanding of the solutions and laying the groundwork for group theory and Galois' theory. Crucially, however, he did not consider composition of permutations. Lagrange's method did not extend to quintic equations or higher, because the resolvent had higher degree.

The quintic was almost proven to have no general solutions by radicals by Paolo Ruffini in 1799, whose key insight was to use permutation groups, not just a single permutation. His solution contained a gap, which Cauchy considered minor, though this was not patched until the work of the Norwegian mathematician Niels Henrik Abel, who published a proof in 1824, thus establishing the Abel–Ruffini theorem.

While Ruffini and Abel established that the general quintic could not be solved, some particular quintics can be solved, such as X 5 - 1 = 0 , and the precise criterion by which a given quintic or higher polynomial could be determined to be solvable or not was given by Évariste Galois, who showed that whether a polynomial was solvable or not was equivalent to whether or not the permutation group of its roots – in modern terms, its Galois group – had a certain structure – in modern terms, whether or not it was a solvable group. This group was always solvable for polynomials of degree four or less, but not always so for polynomials of degree five and greater, which explains why there is no general solution in higher degrees.

Galois' writings Edit

In 1830 Galois (at the age of 18) submitted to the Paris Academy of Sciences a memoir on his theory of solvability by radicals Galois' paper was ultimately rejected in 1831 as being too sketchy and for giving a condition in terms of the roots of the equation instead of its coefficients. Galois then died in a duel in 1832, and his paper, "Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux", remained unpublished until 1846 when it was published by Joseph Liouville accompanied by some of his own explanations. [4] Prior to this publication, Liouville announced Galois' result to the Academy in a speech he gave on 4 July 1843. [5] According to Allan Clark, Galois's characterization "dramatically supersedes the work of Abel and Ruffini." [6]

Aftermath Edit

Galois' theory was notoriously difficult for his contemporaries to understand, especially to the level where they could expand on it. For example, in his 1846 commentary, Liouville completely missed the group-theoretic core of Galois' method. [7] Joseph Alfred Serret who attended some of Liouville's talks, included Galois' theory in his 1866 (third edition) of his textbook Cours d'algèbre supérieure. Serret's pupil, Camille Jordan, had an even better understanding reflected in his 1870 book Traité des substitutions et des équations algébriques. Outside France, Galois' theory remained more obscure for a longer period. In Britain, Cayley failed to grasp its depth and popular British algebra textbooks did not even mention Galois' theory until well after the turn of the century. In Germany, Kronecker's writings focused more on Abel's result. Dedekind wrote little about Galois' theory, but lectured on it at Göttingen in 1858, showing a very good understanding. [8] Eugen Netto's books of the 1880s, based on Jordan's Traité, made Galois theory accessible to a wider German and American audience as did Heinrich Martin Weber's 1895 algebra textbook. [9]

Given a polynomial, it may be that some of the roots are connected by various algebraic equations. For example, it may be that for two of the roots, say UNE et B , that UNE 2 + 5B 3 = 7 . The central idea of Galois' theory is to consider permutations (or rearrangements) of the roots such that quelconque algebraic equation satisfied by the roots is still satisfied after the roots have been permuted. Originally, the theory had been developed for algebraic equations whose coefficients are rational numbers. It extends naturally to equations with coefficients in any field, but this will not be considered in the simple examples below.

These permutations together form a permutation group, also called the Galois group of the polynomial, which is explicitly described in the following examples.

Quadratic equation Edit

By using the quadratic formula, we find that the two roots are

Examples of algebraic equations satisfied by UNE et B include

If we exchange UNE et B in either of the last two equations we obtain another true statement. For example, the equation UNE + B = 4 becomes B + UNE = 4 . It is more generally true that this holds for tous possible algebraic relation between UNE et B such that all coefficients are rational that is, in any such relation, swapping UNE et B yields another true relation. This results from the theory of symmetric polynomials, which, in this case, may be replaced by formula manipulations involving the binomial theorem.

One might object that UNE et B are related by the algebraic equation UNEB − 2 √ 3 = 0 , which does not remain true when UNE et B are exchanged. However, this relation is not considered here, because it has the coefficient −2 √ 3 which is not rational.

We conclude that the Galois group of the polynomial X 2 − 4X + 1 consists of two permutations: the identity permutation which leaves UNE et B untouched, and the transposition permutation which exchanges UNE et B . It is a cyclic group of order two, and therefore isomorphic to Z/2Z .

A similar discussion applies to any quadratic polynomial ax 2 + bx + c , où une , b et c are rational numbers.

  • If the polynomial has rational roots, for example X 2 − 4X + 4 = (X − 2) 2 , or X 2 − 3X + 2 = (X − 2)(X − 1) , then the Galois group is trivial that is, it contains only the identity permutation. In this example, if UNE = 2 and B = 1 then UNE - B = 1 is no longer true when UNE sont B are swapped.
  • If it has two irrational roots, for example X 2 − 2 , then the Galois group contains two permutations, just as in the above example.

Quartic equation Edit

which can also be written as

We wish to describe the Galois group of this polynomial, again over the field of rational numbers. The polynomial has four roots:

There are 24 possible ways to permute these four roots, but not all of these permutations are members of the Galois group. The members of the Galois group must preserve any algebraic equation with rational coefficients involving UNE , B , C et .

Among these equations, we have:

It follows that, if φ is a permutation that belongs to the Galois group, we must have:

This implies that the permutation is well defined by the image of UNE , and that the Galois group has 4 elements, which are:

(UNE, B, C, ) → (UNE, B, C, ) (UNE, B, C, ) → (B, UNE, , C) (UNE, B, C, ) → (C, , UNE, B) (UNE, B, C, ) → (, C, B, UNE)

This implies that the Galois group is isomorphic to the Klein four-group.

In the modern approach, one starts with a field extension L/K (read " L over K "), and examines the group of automorphisms of L that fix K . See the article on Galois groups for further explanation and examples.

The connection between the two approaches is as follows. The coefficients of the polynomial in question should be chosen from the base field K . The top field L should be the field obtained by adjoining the roots of the polynomial in question to the base field. Any permutation of the roots which respects algebraic equations as described above gives rise to an automorphism of L/K , and vice versa.

In the first example above, we were studying the extension Q( √ 3 )/Q , où Q is the field of rational numbers, and Q( √ 3 ) is the field obtained from Q by adjoining √ 3 . In the second example, we were studying the extension Q(UNE,B,C,)/Q .

There are several advantages to the modern approach over the permutation group approach.

  • It permits a far simpler statement of the fundamental theorem of Galois theory.
  • The use of base fields other than Q is crucial in many areas of mathematics. For example, in algebraic number theory, one often does Galois theory using number fields, finite fields or local fields as the base field.
  • It allows one to more easily study infinite extensions. Again this is important in algebraic number theory, where for example one often discusses the absolute Galois group of Q , defined to be the Galois group of K/QK is an algebraic closure of Q .
  • It allows for consideration of inseparable extensions. This issue does not arise in the classical framework, since it was always implicitly assumed that arithmetic took place in characteristic zero, but nonzero characteristic arises frequently in number theory and in algebraic geometry.
  • It removes the rather artificial reliance on chasing roots of polynomials. That is, different polynomials may yield the same extension fields, and the modern approach recognizes the connection between these polynomials.

The notion of a solvable group in group theory allows one to determine whether a polynomial is solvable in radicals, depending on whether its Galois group has the property of solvability. In essence, each field extension L/K corresponds to a factor group in a composition series of the Galois group. If a factor group in the composition series is cyclic of order m , and if in the corresponding field extension L/K the field K already contains a primitive m th root of unity, then it is a radical extension and the elements of L can then be expressed using the m th root of some element of K .

If all the factor groups in its composition series are cyclic, the Galois group is called solvable, and all of the elements of the corresponding field can be found by repeatedly taking roots, products, and sums of elements from the base field (usually Q ).

One of the great triumphs of Galois Theory was the proof that for every m > 4 , there exist polynomials of degree m which are not solvable by radicals (this was proven independently, using a similar method, by Niels Henrik Abel a few years before, and is the Abel–Ruffini theorem), and a systematic way for testing whether a specific polynomial is solvable by radicals. The Abel–Ruffini theorem results from the fact that for m > 4 the symmetric group Sm contains a simple, noncyclic, normal subgroup, namely the alternating group UNEm .

A non-solvable quintic example Edit

Van der Waerden [10] cites the polynomial F(X) = X 5 − X − 1 . By the rational root theorem this has no rational zeroes. Neither does it have linear factors modulo 2 or 3.

The Galois group of F(X) modulo 2 is cyclic of order 6, because F(X) modulo 2 factors into polynomials of orders 2 and 3, (X 2 + X + 1)(X 3 + X 2 + 1) .

F(X) modulo 3 has no linear or quadratic factor, and hence is irreducible. Thus its modulo 3 Galois group contains an element of order 5.

It is known [11] that a Galois group modulo a prime is isomorphic to a subgroup of the Galois group over the rationals. A permutation group on 5 objects with elements of orders 6 and 5 must be the symmetric group S5 , which is therefore the Galois group of F(X) . This is one of the simplest examples of a non-solvable quintic polynomial. According to Serge Lang, Emil Artin was fond of this example. [12]

le inverse Galois problem is to find a field extension with a given Galois group.

As long as one does not also specify the ground field, the problem is not very difficult, and all finite groups do occur as Galois groups. For showing this, one may proceed as follows. Choose a field K and a finite group g . Cayley's theorem says that g is (up to isomorphism) a subgroup of the symmetric group S on the elements of g . Choose indeterminates <Xα> , one for each element α de g , and adjoin them to K to get the field F = K(<Xα>) . Contained within F is the field L of symmetric rational functions in the <Xα> . The Galois group of F/L est S , by a basic result of Emil Artin. g acts on F by restriction of action of S . If the fixed field of this action is M , then, by the fundamental theorem of Galois theory, the Galois group of F/M est g .

On the other hand, it is an open problem whether every finite group is the Galois group of a field extension of the field Q of the rational numbers. Igor Shafarevich proved that every solvable finite group is the Galois group of some extension of Q . Various people have solved the inverse Galois problem for selected non-Abelian simple groups. Existence of solutions has been shown for all but possibly one (Mathieu group M23 ) of the 26 sporadic simple groups. There is even a polynomial with integral coefficients whose Galois group is the Monster group.